Tác động trái

Nếu G là một nhóm với phần tử đơn vị e và X là một tập hợp, thì một tác động trái của nhóm α của G trên X là một hàm

α : G × X → X , {\displaystyle \alpha \colon G\times X\to X,}

(với α(g, x) thường được rút ngắn thành gx hoặc g ⋅ x khi tác động đang được xem xét đã được biết trước)

thỏa mãn hai tiên đề sau: [1]

Tính đơn vị:	e ⋅ x = x {\displaystyle e\cdot x=x}
Tính tương thích:	g ⋅ ( h ⋅ x ) = ( g h ) ⋅ x {\displaystyle g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x}

với mọi g và h thuộc G và mọi x thuộc X

Nhóm G được gọi là tác động lên tập X (từ trái qua). Tập hợp X cùng với một tác động của G được gọi là tập G (bên trái).

Từ hai tiên đề này, dễ nhận thấy rằng cho bất kỳ g cố định trong G, hàm từ X vào chính nó là ánh xạ x tới g ⋅ x là một song ánh, với ánh xạ ngược tương ứng cho g−1 .Do đó, người ta có thể định nghĩa một cách tương đương một tác động nhóm của G trên X như một phép đồng cấu nhóm từ G thành nhóm đối xứng Sym(X) của tất cả các song ánh từ X với chính nó. [2]

Tác động phải

Tương tự như vậy, tác động phải của nhóm G tác động lên tập X là một hàm

α : X × G → X , {\displaystyle \alpha \colon X\times G\to X,}

thỏa mãn hai tiên đề sau:

Tính đơn vị:	x ⋅ e = x {\displaystyle x\cdot e=x}
Tính tương thích:	( x ⋅ g ) ⋅ h = x ⋅ ( g ⋅ h ) {\displaystyle (x\cdot g)\cdot h=x\cdot (g\cdot h)}

với mọi g và h thuộc G và mọi x thuộc X.